EXCEL 计算 Black-Scholes 和 Black 和 Garman Kohlhagen 和 Daren Wilcox 几种 options 和 futures 模型

Sheldon Natenberg 的书 Option Volatility & Pricing - Advanced Trading Strategies and Techniques 把深奥的数学知识打包在 Appendix B 里面，在正文里作者只告诉读者需要输入哪些值并因此得出哪些值。

※ 顺便说一下，我阅读的是这本书的 1994 版，后来这本书于 2014 年出了第二版。

书中多次用到了附录 B 里的 Black-Scholes Model 和 Black Model 两个公式。第一个也叫做 73 Model，因为它是在 1973 年由 Fischer Black 和 Myron Scholes 两人署名发表的；后面这个也叫做 Black-76 Model，因为它是在 1976 年由 Fischer Black 发表的。

※ Scholes 如何发音？英国人是这样读的。大家还记得曼联队员 Paul Scholes 吗？如果我说中文名字“保罗・斯科尔斯”你一定想起来了。类比一下，school 大家一定会读吧？但是 Wikipedia 上 Myron Scholes 的词条里是这样标注的。我是这样猜想的，既然他是犹太人，很有可能是德国或者东欧移民过来的，那么 sch 一般同 sh 发音。

回归正题，本文的目的是把这两个模型的公式放到 EXCEL 里，输入已知量，求出未知量。

先来看看变量缩写的意思。

看上图。

• U 是标的的当前价格，也叫做 spot price，或 underlying price。
• E 是执行价格，或者行权价格，也叫做 strike price。
• t 需要年化，比如离到期日还有 10 周，就是 10/52；比如离到期日还有 90 天，那么就是 90/365。
• v 和 r 都输入纯小数（百分数也是小数，所以当然也可以输入百分数）。

一般来说需要输入以上五个已知量，求出 C、P、call delta、put delta、call gamma、call theta、put theta、call vega、call rho、put rho。

公式中还要用到：

• e 欧拉常数，在 EXCEL 里使用 EXP(1) = e。
  
• ln 自然对数——也就是以欧拉常数为底的对数，在 EXCEL 里函数是 LN()。
• N'(x) 正态分布曲线，或者叫做概率密度函数（normal probability density function - PDF）——也就是某点的纵轴值。因为均值 mu 是 0，标准偏差 sigma 是 1，所以公式中它是标准正态分布曲线。。
  
• N(x) 正太累积密度函数，或者正太累积分布函数（normal Cumulative Distribution Function - CDF）——是 N'(x) 的积分，也就是某点左边的正太分布曲线图形的面积。当然在本书的公式中，曲线都是标准正太分布曲线。
• PDF 和 CDF 在 EXCEL 中函数是 NORM.DIST (x, mean, standard_dev, cumulative) ，mean 在我们这里是 0，standard_dev 是 1，cumulative 是布尔值，CDF 用 TRUE，PDF 用 FALSE。

有了已知量和公式，直接输入到 EXCEL 中就可以求出未知量了。

下面是 Black-Scholes Model 公式。

下面是 Black Model 的公式。

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第五章一开始用到了如下的例子：

• June futures price = 101.35
• Interest rate = 8.00%
• Time to June expiration = 10 weeks
• June 100 call
  
• Assumed volatility = 18.3%

用 Black Model 计算出 Theoretical call value 和 call deta。

也就是我们已经知道了：

• U = 101.35
• E = 100
• t = 10/52
• v = 18.30%
• r = 8.00%

如下图是我的 EXCEL：

• h = (LN(C3/C4)+C6^2*C5/2)/(C6*SQRT(C5))
• C = C3*B16-C4*EXP(-C7*C5)*NORM.DIST(B14-C6*SQRT(C5),0,1,TRUE)
• call delta = EXP(-C7*C5)*NORM.DIST(B14,0,1,TRUE)

C = 3.88，call delta = 0.57，与书中结果一致。